1. Основні геометричні об'єкти [ правити ]
2. Паралельність і перпендикулярність прямих [ правити ]
3. багатокутники [ правити ]
4. Приклади найпростіших завдань в планіметрії [ правити ]
5. Знаходження площі квадрата [ правити ]
6. « недоречні »Цитати [ правити ]
7. Стрічка Мебіуса [ правити ]
8. Пляшка Клейна [ правити ]
9. Геометрія Лобачевського [ правити ]
10. Сферична геометрія [ правити ]
11. Кубічна геометрія [ правити ]
12. Приклади практичного застосування геометрії [ правити ]

Геометрія - розділ математики , Всі об'єкти вивчення якого навмисно спрощено до рівня сферичного коня у вакуумі . Однак, щоб школярі (принаймні, відмінники ) Не пускали літачки і не кидалися папірцями на уроці геометрії, як це роблять на ОБЖ, ця наука була настільки ускладнена вченими , Що геометричний аналіз спрощених об'єктів став набагато складніше, ніж звичайний аналіз неупрощённих.

Основоположником геометрії вважається Евклід . Приблизно 2300 років тому він відвідав Країну сонця, що сходить , І, коли він проходив повз одного з будинків, йому на голову впав кавун кубічної форми, який, як виявилося, ріс на грядці, що знаходиться на балконі. Від такої важкої ягоди Евклід отримав струс мозку , Занадто сильне для того, щоб відкрити закон всесвітнього тяжіння , І в результаті він зміг відкрити лише геометрію з її спрощеними, як у що впав кавуна, формами.

Застосування геометрії в практичних цілях було відомо ще в Стародавній Греції . Відомий випадок, коли Архімеда знадобилося знайти обсяг корони, що має, як відомо, досить складну форму. Знаючи, що обчислення обсягу шляхом занурення в воду дасть серйозну погрішність за рахунок поступового випаровування і поверхневого натягу, вчений вирішив вдатися до безпосередніх вимірів, використовуючи свої глибокі пізнання в геометрії. Встановивши, що форма корони найбільш близька до циліндричної, Архімед виміряв лише висоту і діаметр корони і за формулою обсягу циліндра швидко вирахував шуканий обсяг. В результаті з'ясувалося, що безкорисливий ювелір не тільки витратив все золото для виготовлення корони, а ще й додав 10 кг від себе.

Основною проблемою геометрії в стародавні століття, коли ще не було таких графічних редакторів, як Necrosoft Paint , Була побудова геометричних об'єктів за допомогою циркуля і лінійки. За допомогою лінійки вчені могли побудувати відрізок, ламану лінію і багатокутник, проте довжина накреслених ліній не могла перевищувати 30 см (точніше, з урахуванням всіх поділів лінійки, 30,6 см). Ще гірше було з циркулем: цим інструментом можна було накреслити тільки точку , Яку залишав грифель в центрі, в той час як обертається навколо нього голка лише дряпала папір.

В даний час завдяки науково-технічному прогресу вчені в змозі виконати будь-які геометричні побудови, часом складаються з десятків елементів, тому і основні проблеми геометрії стали набагато більш серйозними.

Основні геометричні об'єкти [ правити ]

Найменшої одиницею геометрії є крапка - об'єкт нульових розмірів за всіма параметрами, тому можна вважати, що наявність точки тотожне її відсутності, що підтверджується Малої теоремою Ферма . Еталоном точки в даний час вважається душа кота Шредінгера , Яка аналогічно існує і не існує одночасно. Фотон також пропонувався як еталон, але не був схвалений вченими через нефотоногенічності точки.

Витончене доказ нікчемності розмірів кожної окремої точки продемонстрував чемпіон Праги по грі в точки Точок Ставіца. За свою тримісячну професійну кар'єру він зіграв 42 напружених матчу, поставивши в цілому більше 3000 точок. Весь цей час він використовував одну і ту ж ручку. Більш того, нею можна було писати навіть після такої тривалої експлуатації, що свідчить про нескінченно малому обсязі чорнила, що витрачаються на 1 точку, і, як наслідок, її нікчемності.

Прикладом більшого об'єкту може служити відрізок - частина прямої лінії, яку відрізали від основної її частини. Частину, що залишилася ж обрізану частину прийнято називати відрізком.

Сама по собі пряма лінія, як і лінія взагалі - це геометричний об'єкт, який під силу намалювати звичайній людині . Якщо ж пряма лінія настільки довга, що її може накреслити хіба що зациклений аутист, то вона не є лінією по визначенню і іменується просто як пряма, довжину якої умовно приймають за нескінченність , Щоб не забивати голову великими числами .

Існує поширена помилка, що якщо подивитися прямий в торець, то можна побачити точку. Ні в якому разі не можна цього робити! Як тільки спостерігач спробує заглянути на пряму збоку, пряма тут же проткнёт йому очне яблуко і мозок і вийде через потилицю, кинувшись в нескінченність. Але якщо все-таки дуже хочеться поглянути на пряму збоку, то потрібно попередньо розрізати пряму на 2 променя і тільки потім подивитися на обидва по черзі (дивитися тільки з боку розрізу!). Потім слід подумки перетворити обидві побачені точкові проекції в одну відповідно до Малої теоремою Ферма (0 = 1; 1 = 2) і радіти отриманому результату, що співпала з початковим помилкою.

Ще більш потужним за своєю структурою об'єктом є площину - простір, що знаходиться під постійним тиском з обох сторін, рівним ∞ {\ displaystyle \ infty} Па. Геометричні фігури на площині - це не що інше, як колишні об'ємні тіла, що опинилися під таким же тиском. цей факт легко доводиться на практиці на прикладі асфальтоукладача і будь-якого об'ємного людського тіла, що не володіє високою міцністю.

Величину всіх основних геометричних об'єктів можна виразити в точках наступним чином:

1. Відрізок - ∞ {\ displaystyle \ infty} точок.
2. Луч - ∞ {\ displaystyle \ infty} відрізків, або ∞ 2 {\ displaystyle \ infty ^ {2}} точок.
3. Пряма - 2 променя, або 2 ∞ 2 {\ displaystyle 2 \ infty ^ {2}} точок
4. Нескінченна смуга, обмежена двома паралельними прямими - ∞ {\ displaystyle \ infty} прямих, або 2 ∞ 3 {\ displaystyle 2 \ infty ^ {3}} точок.
5. Напівплощина - ∞ {\ displaystyle \ infty} смуг, або 2 ∞ 4 {\ displaystyle 2 \ infty ^ {4}} точок.
6. Площина - 2 півплощини, або 4 ∞ 4 {\ displaystyle 4 \ infty ^ {4}} точок.
7. Нескінченний шар, обмежений двома паралельними площинами - ∞ {\ displaystyle \ infty} площин, або 4 ∞ 5 {\ displaystyle 4 \ infty ^ {5}} точок.
8. Напівпростір - ∞ {\ displaystyle \ infty} шарів, або 4 ∞ 6 {\ displaystyle 4 \ infty ^ {6}} точок.
9. Простір - 2 півпростору, або 8 ∞ 6 {\ displaystyle 8 \ infty ^ {6}} точок.

Паралельність і перпендикулярність прямих [ правити ]

Теорема про перетинання паралельних прямих по праву вважається однією з найскладніших в історії геометрії. Багато геометри, починаючи з Евкліда, намагалися її довести, але вперше це вдалося зробити лише в XIX ст. Для цього знадобилося прокласти рейки, ідентичні паралельним прямим, на протязі, близькому до нескінченного, в даному випадку - від Москви до Владивостока, після чого пустити поїзд «Москва-Владивосток». Експериментально було доведено, що, оскільки склад протягом всього шляху жодного разу не зійшов з рейок, то паралельні прямі дійсно ніде не перетинаються. Однак, щоб уникнути зайвої громіздкість і великих матеріальних витрат, дана теорема незабаром була прийнята за аксіому.

Менш складною, але не менш цікавою для геометрів є теорема про три перпендикуляри, яка сформульована так:

Доказ. Розділимо пряму a {\ displaystyle a} на 2 симетричних променя так, щоб перпендикулярна їй пряма b {\ displaystyle b} перетинала пряму a {\ displaystyle a} зліва від осі симетрії O {\ displaystyle O} . Так як симетричні частини прямий абсолютно ідентичні, то рівновіддалені від осі O {\ displaystyle O} точка перетину A {\ displaystyle A} і точка B {\ displaystyle B} справа також ідентичні, чого не можна сказати про інших точках. З цього випливає, що точка B {\ displaystyle B} також може бути місцем перетину двох перпендикулярних прямих (a {\ displaystyle a} і c {\ displaystyle c} ), що й потрібно було довести.

багатокутники [ правити ]

У давні часи люди вміли рахувати тільки до 3, і всі інші числа, починаючи з 4, вони умовно називали як «багато». Саме тому першим накресленим многоугольником став чотирикутник. Всі чотирикутники можна поділити на прямокутники, які мають прямі кути і прямостороннікі, що мають тільки прямі боку. Раніше виділяли також крівостороннікі, побудовані особами з малим радіусом кривизни рук і більш низьким розташуванням плечового пояса , Але, щоб не псувати таку витончену науку, як геометрія, крівостороннікі були перейменовані в певні інтеграли і видалені з геометрії, як чужорідні об'єкти.

Прямокутники, в свою чергу, діляться на остропрямоугольнікі, що мають крім прямих хоча б один гострий кут, і тупопрямоугольнікі, в яких тупо всі кути прямі. Серед них виділяють трапецію - прямокутник, у якого одна сторона розташована далі від спостерігача, ніж протилежна. Якщо ж прямокутник настільки довгий, що далека його сторона ховається за горизонтом, то такий приватний випадок трапеції називається трикутником.

Коло - загальна назва для нольугольніка і правильного бесконечноугольніка (ніфігона і дофігона відповідно), які не мають видимих відмінностей, але все ж відрізняються між собою. Якщо нольугольнік - це просто гіпертрофована точка, то правильний бесконечноугольнік - це повноцінний багатокутник, кожна крайня точка якого є одночасно і стороною, і вершиною так званого наноразвёрнутого кута, невидимого неозброєним оком.

Найпростіша геометрична теорема, яку під силу довести навіть першокласнику . Справа в тому, що безліч доказів теореми нескінченно, тому будь-яка спроба обґрунтувати її призводить до неминучого успіху. Нижче представлені найбільш поширені доведення теореми Піфагора:

1. арифметико фізичний метод виключення. Зауважимо, що гіпотенуза має ту ж розмірність, що і катети. Те ж саме можна сказати і про їх квадрати, тому квадрат гіпотенузи не може бути твором або приватним квадратів катетів. Тепер зауважимо те, що ми не помітили в минулий раз: гіпотенуза більше, ніж будь-який з катетів, і це нерівність зберігається при зведенні їх всіх в квадрат. Значить, квадрат гіпотенузи також не може бути різницею квадратів катетів. Методом виключення ми встановлюємо, що квадрат гіпотенузи може дорівнювати лише сумі квадратів катетів, що й треба було довести.
2. університетський метод виключення. задаємо студенту -двоечніку, що прийшов на останню переекзаменування, довести теорему Піфагора. Одне з двох: або він її доводить, або ми виключаємо його з університету.
3. Метод школяра. Так на лоха відповідаю, що дорівнює!
4. Метод лоха. Розглянемо △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} . У нього є 3 сторони: A B {\ displaystyle AB} , A C {\ displaystyle AC} і B C {\ displaystyle BC} . Також у нього є 3 вершини: точка A {\ displaystyle A} , Точка B {\ displaystyle B} і точка C {\ displaystyle C} . Ще у нього є 3 кута: ∠ A {\ displaystyle \ angle A} , ∠ B {\ displaystyle \ angle B} і ∠ C {\ displaystyle \ angle C} . ∠ C = 90 ∘ {\ displaystyle \ angle C = 90 ^ {\ circ}} , Величина двох інших кутів невідома, але нам це і не потрібно. Кут, що дорівнює 90 °, називається прямим, тобто ∠ C {\ displaystyle \ angle C} - це прямий кут. Трикутник, що має прямий кут, називається прямокутним, тобто △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} - це прямокутний трикутник. Сторона A B {\ displaystyle AB} протилежна ∠ C {\ displaystyle \ angle C} , Значить, A B {\ displaystyle AB} - це гіпотенуза △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} . Сторони A C {\ displaystyle AC} і B C {\ displaystyle BC} не протилежні ∠ C {\ displaystyle \ angle C} , Отже, A C {\ displaystyle AC} і B C {\ displaystyle BC} - катети △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} . Сторона A C {\ displaystyle AC} коротше, ніж B C {\ displaystyle BC} , Тому A C {\ displaystyle AC} - це короткий катет △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} , А B C {\ displaystyle BC} - довгий катет △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} . Тепер розглянемо △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} більш детально…
5. метод діда Мороза . Цього року гіпотенуза поводилася в 2 рази краще, ніж катети, тому їй ми подаруємо великий квадрат, а менш слухняним катетам - по квадрату з удвічі меншою площею. В результаті квадрат гіпотенузи по площі виявився дорівнює сумі квадратів катетів, і так буде до тих пір, поки катети не виправити.
6. Доказ від противного. Припустимо, що квадрат гіпотенузи НЕ дорівнює сумі квадратів катетів. Але тоді б ніякої теореми Піфагора не було. Виникає парадокс, отже, наше припущення помилково. Теорема доведена.

Однак, незважаючи ні на що, єдиним канонічно вірним з точки зору геометрії є наступний доказ:

Проведемо описану окружність навколо прямокутного △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} . Її центр знаходиться на середині гіпотенузи, яка також є діаметром цієї окружності і ділить на 2 рівні частини. Отже, дуга, стягувана гипотенузой A B {\ displaystyle AB} дорівнює сумі двох дуг, які стягуються катетами A C {\ displaystyle AC} і B C {\ displaystyle BC} . Пропорційність між дугами, стягують катетами і гіпотенузою, і квадратами останніх наукою поки не доведена, тому вона приймається за аксіому. Теорема доведена.

У народі ця теорема отримала назву «Піфагорови труси» за схожість її графічного представлення з трусами (вид ззаду), які носив сам Піфагор, а також нижньою частиною спини і визирають з-під трусів ногами давньогрецького вченого.

Приклади найпростіших завдань в планіметрії [ правити ]

Знаходження периметра трикутника [ правити ]

Рішення. очевидно , Що обчислити периметр △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} неможливо без додаткових побудов. Щоб не бути дріб'язковими і не вдаватися по ходу рішення до будь-яких ще побудов, проведемо відразу 3 бісектриси, 3 медіани, 3 висоти (які чомусь збігаються на кресленні) і 3 середні лінії. Одержаний гарний візерунок свідчить про те, що ми на вірному шляху.

Розглянемо △ A 2 O C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup A_ {2} OC_ {1}} . Він прямокутний з допустимою невеликою похибкою. З такою ж похибкою припускаємо, що ∠ A 2 O C 1 = 60 ∘ {\ displaystyle \ angle A_ {2} OC_ {1} = 60 ^ {\ circ}} і ∠ A 2 C 1 O = 30 ∘ {\ displaystyle \ angle A_ {2} C_ {1} O = 30 ^ {\ circ}} , З метою більш легкого і раціонального рішення. Сторона A 2 C 1 {\ displaystyle A_ {2} C_ {1}} становить половину середньої лінії і дорівнює 2, 5 {\ displaystyle 2,5} см, A 2 O = A 2 C 1 * tg 30 ∘ = 2, 5 3 3 {\ displaystyle A_ {2} O = A_ {2} C_ {1} * tg30 ^ {\ circ} = {\ frac {2 , 5 {\ sqrt {3}}} {3}}} см. За теоремою Піфагора OC 1 = (2, 5) 2 + (2, 5 3 3) 2 = 5 3 3 {\ displaystyle OC_ {1} = {\ sqrt {(2,5) ^ {2} + ( {\ frac {2,5 {\ sqrt {3}}} {3}}) ^ {2}}} = {\ frac {5 {\ sqrt {3}}} {3}}} см. Звідси PA 2 OC 1 = 2, 5 + 7, 5 3 3 {\ displaystyle P_ {A_ {2} OC_ {1}} = 2,5 + {\ frac {7,5 {\ sqrt {3}} } {3}}} см.

Тепер розглянемо △ A A 2 C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup AA_ {2} C_ {1}} . Його кути також рівні 30 ∘ {\ displaystyle 30 ^ {\ circ}} , 60 ∘ {\ displaystyle 60 ^ {\ circ}} і 90 ∘ {\ displaystyle 90 ^ {\ circ}} в порядку зростання, значить, △ A A 2 C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup AA_ {2} C_ {1}} подібний до △ A 2 O C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup A_ {2} OC_ {1}} . Короткий катет розглянутого трикутника збігається з довгим катетом попереднього, що значно полегшує обчислення P A A 2 C 1 {\ displaystyle P_ {AA_ {2} C_ {1}}} . AA 2 = A 2 C 1 * ctg 30 ∘ = 2, 5 3 {\ displaystyle AA_ {2} = A_ {2} C_ {1} * ctg30 ^ {\ circ} = 2,5 {\ sqrt {3}} } см. Зауважимо, що гіпотенуза попереднього трикутника виявилася рівно в 2 рази довше, ніж короткий катет, тому і A C 1 = 2 A 2 C 1 = 5 {\ displaystyle AC_ {1} = 2A_ {2} C_ {1} = 5} см. Отже, P A A 2 C 1 = 7, 5 + 2, 5 3 {\ displaystyle P_ {AA_ {2} C_ {1}} = 7,5 + 2,5 {\ sqrt {3}}} см.

Розрахуємо коефіцієнт подібності △ A 2 O C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup A_ {2} OC_ {1}} і △ A A 2 C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup AA_ {2} C_ {1}} через їх периметри для більшої надійності, оскільки похибка суми 3 сторін значно менше, ніж кожної окремо:

7, 5 + 2, 5 3 2, 5 + 7, 5 3 3 = 3 + 3 1 + 3 3 3 = 3 + 3 1 + 3 * 1 - 3 1 - 3 = 3 - 2 3 - 3 1 - 3 = 3 {\ displaystyle {\ frac {7,5 + 2,5 {\ sqrt {3}}} {2,5 + {\ frac {7,5 {\ sqrt {3}}} {3}}}} = {\ frac {3 + {\ sqrt {3}}} {1 + {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {3}}}} = {\ frac {3 + {\ sqrt {3} }} {1 + {\ sqrt {3}}}} * {\ frac {1 - {\ sqrt {3}}} {1 - {\ sqrt {3}}}} = {\ frac {3-2 { \ sqrt {3}} - 3} {1-3}} = {\ sqrt {3}}}

Розглянемо △ O B C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup OBC_ {1}} і △ C B C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup CBC_ {1}} . Повний і розгорнуте рішення передбачає також розгляд ще 30 трикутників, але ми цього робити не будемо, щоб вирішити цю задачу в найкоротші терміни. △ C B C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup CBC_ {1}} також подібний △ O B C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup OBC_ {1}} , І короткий катет першого трикутника також збігається з довгим катетом другого. POBC 1 = 5 3 3 + 5 +10 3 3 = 5 + 5 3 {\ displaystyle P_ {OBC_ {1}} = {\ frac {5 {\ sqrt {3}}} {3}} + 5 + {\ frac {10 {\ sqrt {3}}} {3}} = 5 + 5 {\ sqrt {3}}} см.

Завдяки знайденому коефіцієнту подібності, справедливому і для цих трикутників, нам не потрібно підсумовувати довжини сторін △ C B C 1 {\ displaystyle \ bigtriangleup CBC_ {1}} , Щоб дізнатися периметр. Досить P O B C 1 {\ displaystyle P_ {OBC_ {1}}} помножити на коефіцієнт: (5 + 5 3) * 3 = 15 + 5 3 {\ displaystyle (5 + 5 {\ sqrt {3}}) * {\ sqrt {3}} = 15 + 5 {\ sqrt {3} }} см.

Розглянемо умову задачі. Сторони △ A B C {\ displaystyle \ bigtriangleup ABC} - раціональні числа, тому ірраціональна частина P C B C 1 {\ displaystyle P_ {CBC_ {1}}} - це не що інше, як проведена висота C C 1 {\ displaystyle CC_ {1}} . Позбавляємося від неї і множимо отриману різницю на 2: 15 * 2 = 30 {\ displaystyle 15 * 2 = 30} см. Вийшло раціональне, ціле і навіть кругле число свідчить про те, що завдання виконане правильно.

Відповідь: 30 см.

Знаходження площі квадрата [ правити ]

Рішення. Розділимо даний квадрат по діагоналі на 2 рівні частини і впишемо в кожну з них по квадрату (на малюнку позначені червоним кольором), зі стороною, вдвічі меншою, ніж у шуканого квадрата, тобто 4 см. Як відомо, квадрат зі стороною 4 см - це окремий випадок багатокутника, коли P = S = 16 {\ displaystyle P = S = 16} (См² для площі). Аналогічним чином вписуємо в залишилася область 4 квадрата поменше (жовтого кольору), потім 8 квадратів ще менше (зеленого кольору) і т. Д. Зауважимо, що площа кожного з вписуваних квадратів кожен раз зменшується в 4 рази, а їх кількість збільшується в 2 рази . Знайдемо межа утворилася послідовності, прийнявши площа квадрата зі стороною 4 см за одиницю:

lim n → ∞ xn = 2 * 1 + 4 * 1 4 + 8 * 1 16 + ⋯ + 2 n * 1 2 2 n - 2 = 2 + 1 + 1 2 + ⋯ + 1 2 n - 2 = 4 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = 2 * 1 + 4 * {\ frac {1} {4}} + 8 * {\ frac {1} {16}} + \ cdots +2 ^ {n} * {\ frac {1} {2 ^ {2n-2}}} = 2 + 1 + {\ frac {1} {2}} + \ cdots + {\ frac {1} {2 ^ { n-2}}} = 4}

Як бачимо, безіменність даного квадрата негативно позначилася на індивідуалізації підходу до нього і призвело до куди більш короткому рішенням в порівнянні з іншими багатокутниками, позначеними літерами. Тому правильна відповідь 16 * 4 = 64 {\ displaystyle 16 * 4 = 64} см² не можна вважати достовірним без ряду додаткових перевірок.

Відповідь: 64 ± 32 см².

Найпростішім об'ємнім тілом в геометрії вважається піраміда - довільній багатокутнік зі зміщенім центром ваги, что НЕ збігається з площини цього багатокутніка. Причина цього воістину дивного феномена невідома, але більшість геометрів вважає, що вона криється в тих же магнітних аномаліях, що і у випадку з пересічними паралельними прямими. Як результат, діагоналі такого багатокутника, проходячи через центр, стають ребрами піраміди, а проведений серединний перпендикуляр - апофемой.

Циліндр - допоміжне тіло, самостійна значимість якого не відображено. Використовується виключно для графічного представлення таких об'ємних тіл, як куля і куб.

Справа в тому, що форма двох перерахованих вище тел настільки складна, що вони не підвладні людській уяві. Найпростіший спосіб отримання кулі і куба полягає в наступному. Беруть 3 рівних циліндра і «зварюють» їх таким чином, щоб «зварюються кінці» циліндрів дорівнювали діаметру їх підстав, і щоб кожен з цих тіл був перпендикулярний двом іншим. Отримана область, що належить всім трьом циліндрах, називається кулею, а область, що належить хоча б двом з них - кубом.

Крім того, до об'ємним тіл одного разу хотіли віднести тор, на що великий учений Е. Торрічеллі, швидко зрозумівши, що це - типовий об'єкт топології (див. Нижче), лаконічно висловився: «Тор тут недоречний». Згодом ця фраза стала крилатою: пізніше її використовували не тільки в математиці, але і в інших областях науки, лише злегка змінивши її, щоб не порушувати авторське право .

« недоречні »Цитати [ правити ]

Злодій тут недоречний.

~ Жеглов про що живуть на волі

Жор тут недоречний.

~ Рибалка про гучне плямкання сусіднього рибалки

Сор тут недоречний.

~ Дуже-дуже-дуже культурна прибиральниця про людей, що кидають бички повз урни

Хор тут недоречний.

~ «Фабрика зірок» про Змія Горинича на кастингу

Бор тут недоречний.

~ Будівельники про заповідник на території майбутньої забудови

Бор тут недоречний.

~ Стоматолог про стороннє тіло в кореневому каналі пацієнта, залишене іншим стоматологом

Лор тут недоречний.

~ хірургі про апендектомія

Торт тут недоречний.

~ Родичі померлого на похоронах

Торф тут недоречний.

~ Працівники АЕС про що поставляється паливо

Фтор тут недоречний.

~ Хворий на флюороз про питну воду

Топологія (дослівно верхня наука від англ. top - верх і грец. λόγος - наука), також вища геометрія - поглиблений розділ геометрії, заснований вкрай захопленими своєю діяльністю математиками, пожертвували заради науки своїм особистим життям. Цим пояснюється той факт, що об'єктами вивчення топології є будь-які фігури або тіла, що мають дірки . Часом вчені-топологи настільки стурбовані цими отворами, що не можуть відрізнити навіть кухоль від бублика тільки тому, що у них обох є по одній дірці.

Стрічка Мебіуса [ правити ]

найбільше винахід німецького топології А. Мебіуса, який отримав патент на нього ще в юності. У той час, як його ровесники клеїли дівчат , Мебіус, будучи природженим топології, клеїв папір . Одного разу, в процесі чергового експерименту з папером, вчений вирішив ризикнути і повернув вирізану смугу перед склеюванням на 180 °. Ще ніхто з топології не наважувався піти на це до нього: така інверсія в їхньому колі вважалася перверсією і насильством над папером.

Мебіус неодноразово піддавався критиці за своє «аморальне» винахід, тому тополог вирішив зібрати побільше народу і продемонструвати властивості цієї чудової смужки. На очах у публіки він повністю розрізав стрічку уздовж, і - о диво! - вона не розпалася на 2 частини, а стала в 2 рази довше і вже! Отриману смужку Мебіус знову розрізав уздовж. При цьому вона все-таки розпалася на 2 частини, але вони дивним чином виявилися з'єднані між собою.

Але глядачі, будучи розумними людьми, швидко здогадалися, що це розлучення, і Мебіус спеціально відвідував курси ілюзіоніста , Щоб їх обдурити. Так, в перший раз, на думку публіки, тополог непомітно сховав 2 частини своєї стрічки в рукав і одночасно витягнув заховану заздалегідь довгу і вузьку стрічку; вдруге він непомітно відклеїли одну з 2 смужок, прикриваючи місце роз'єднання пальцем, і приклеїв назад.

Щоб довести, що це не фокус, а науковий факт, Мебіус звернувся до « руйнівникам легенд ». Природно, йому зі сміхом було відмовлено, оскільки в експерименті з «якимсь папірцем» було б недоцільно щось підривати. Зневірившись, Мебіус вирішив покинути топологію і став фокусником, заробивши згодом чимало грошів завдяки «фокусу» з однойменної стрічкою.

Пляшка Клейна [ правити ]

Об'єкт топології, в 2 рази більше цікавий, ніж стрічка Мебіуса, так як має 2 дірки: вхід в пляшку і наскрізну дірку зовні її. Це - єдина пляшка, всередині якої неможливо зібрати корабель. Багато топологи намагалися це зробити, використовуючи вигнуті по площині затискачі і пінцети, але конфігурація горлечка не дозволяла здійснювати всередині пляшки Клейна точні і скоординовані маніпуляції. Зрештою «прогресивні геометри» плюнули на цю затію, заявивши від безвиході, що у цій чортовій пляшки немає «зовні» і немає «всередині».

Геометрія Лобачевського [ правити ]

У дитинстві Лобачевський був надзвичайно вразливим хлопчиком і сильно ображався, коли йому говорили, наприклад, що двічі два рівним не п'яти, як він думав, а чотирьом. Одного разу в школі на запитання вчителя він впевнено заявив, що через точку, що не лежить на прямій, можна провести не менше 20-30 прямих, паралельних їй. Отримавши двійку, Лобачевський поклявся, що створить свою геометрію, в якій все до єдиної прямі, а також інші лінії, будуть паралельними один одному.

Щойно закінчивши університет , Амбітний геометр втілив свою ідею в реальність . В геометрії Лобачевського жодна з ліній не тільки не перетинається з іншою, а навіть не примикає до неї. Відповідно до прийнятого постулатом багатокутники в геометрії Лобачевського не мають вершин, а їх ізольовані один від одного боку спрямовуються в нескінченність . Завдяки цьому завдання на обчислення периметра і площі стають неактуальними: обидві ці характеристики чисельно рівні нескінченності [3] .

Особливий інтерес представляє пряма, укладена всередині кола (кордону нольугольніка) - єдиного замкнутого об'єкта в геометрії Лобачевського. Оскільки пряма аутопараллельна (не може перетинати саму себе) і паралельна окружності згідно постулату, то їй нічого не залишається робити, як скрутитися в нескінченну спіраль.

Геометрія Лобачевського отримала практичне застосування і в інших розділах математики, зокрема, в математичному аналізі. Наприклад, в так званих координатах Лобачевського область значень і область визначення функції ніколи не включає в себе 0, щоб графік не зміг перетнути осі абсцис і ординат, а точка (0; 0) виколоти з координат взагалі, причому виколоти не "кружечком», а голкою, щоб осі ні в якому разі не перетиналися.

Однак геометрія Лобачевського не позбавлена ​​недоліків. До сих пір залишається загадкою , Як поведе себе пряма, яка в геометрії Евкліда була б перпендикулярна інший. Адже з однаковою ймовірністю вона може повернути як вліво, так і вправо, або ж взагалі роздвоїтися і піти в обидві сторони.

Сферична геометрія [ правити ]

Сферична, або глобальна, геометрія - щодо сучасний розділ геометрії, в якому площиною служить планета земля . Решта, давніші, розділи були засновані ще в ті часи, коли Землю помилково вважали плоскою. Після появи глобальної геометрії всі вони були об'єднані під загальною назвою локальна геометрія, в якій кривизною планети можна було знехтувати.

З появою принципово нового розділу багатокутники стали диференціювати на опуклі (в глобальній геометрії) і неопуклі (в локальній геометрії). Оскільки опуклі багатокутники зігнуті красиво і рівномірно, то вони крівостороннікамі не рахуються, тому їх існування в геометрії цілком допустимо.

У Новий час, за аналогією зі сферичною геометрією, сформувався цілий клас так званих телоідних геометрій: пірамідальна, конічна, призматична, циліндрична, кубічна і т. Д. Остання зважаючи на загальне «тріціліндріческого» уявлення стала найпопулярнішою з них.

Кубічна геометрія [ правити ]

Основою даної геометрії є замкнута гексаплоскость, вигнута під прямим кутом в 12 місцях. Її головний постулат звучить так:

Кожен з об'єктів кубічної геометрії, за винятком точки, повинен розташовуватися не менше, ніж на 2 гранях відразу, інакше він буде не відрізняється від такого в геометрії Евкліда, що неприпустимо і нецікаво.

З наведеного постулату випливає, що всі вершини багатокутників повинні лежати на ребрах куба, оскільки кут - це також геометричний об'єкт, і утворюють його сторони повинні знаходитися на сусідніх гранях. Самі сторони при цьому самостійними об'єктами не вважаються.

У трикутнику, як в такому, всі сторони є сусідніми по відношенню один до одного; те ж саме можна сказати і про гранях, на яких вони лежать. Отже, вершина, в якій сходяться ці межі, лежить всередині даного трикутника і являє собою зміщений центр його ваги. Іншими словами, трикутник в кубічної геометрії - це, по суті, піраміда.

Куди більший інтерес, ніж трикутник, викликає квадрат, який має унікальні властивості:

1. Кожен кут квадрата дорівнює 180 °, утворений сумою двох прямих кутів з ребром куба.
2. Сторона квадрата і, як наслідок, периметр рівні константі.
3. Площа квадрата може перебувати в межах a 2 <S <5 a 2 {\ displaystyle a ^ {2} <S <5a ^ {2}} , То ж стосується і прямокутників (як, наприклад, прямокутник EBCH {\ displaystyle EBCH} на малюнку).

Примітно, що коло, описаний по «екватору» куба, візуально не відрізняється від квадрата. Це послужило графічним рішенням задачі про квадратуру кола.

Приклади практичного застосування геометрії [ правити ]

1. На стрільбищі, де кілька людей стріляють по мішенях, траєкторії польоту куль проходять по практично паралельним прямим. Знаючи аксіому про перетинання паралельних прямих, стрілки можуть не боятися, що якась випадкова куля відскочить від іншої і потрапить в одного з них. У тих ж стрільців, хто не знайомий з цією аксіомою, настільки тремтять руки від страху травмонебезпечно рикошету, що вони можуть вистрілити з відхиленням до 30 °, що може привести до травмонебезпечних рикошету через перетину вже зовсім непаралельних траєкторій.
2. спекотного літа часто виникає бажання сховатися від палючих сонячних променів в своєму будинку, проте навіть тут підступне сонце яскраво світить через вікно! Для людини, яка знає геометрію, це не біда: представивши освітлюваний обсяг кімнати у вигляді призми з трапецією в підставі (довге підставу трапеції - шлях променів від верхнього краю вікна до підлоги, короткий підставу - від підвіконня до підлоги) і вимірявши кут падіння сонячних променів, він легко зможе обчислити, де не потрібно перебувати, щоб уникнути прямих сонячних променів. Людям же, які не знають геометрії, доводиться в цій ситуації використовувати щільні штори або жалюзі.
3. Деякі заради екстремальних відчуттів люблять стрибати з парашутом, ризикуючи життям (Або без нього, ризикуючи життям ще більше). Тепер припустимо, що парашут не розкрився. Тоді, за відсутності сильного вітру, майбутня жертва буде падати по прямій, перпендикулярній земної поверхні. Розглянемо точку перетину прямої і «земної» площині. Саме тут в найближчу хвилину і буде лежати розбився парашутист. Якщо врахувати, що через довільну точку в просторі можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну площині, то можна зробити висновок: що знає це парашутист може не знати, де він впаде, щоб підстелити солому в потрібному місці - йому досить знати, звідки він вистрибне.
4. Застосування в медицині. При імплантації грудей необхідно (і достатньо) знати всього лише координати центру кулі, через який подумки проводимо переріз площиною Лобачевського моделі Пуанкаре. На виході маємо дві півсфери. Поширена помилка рішення: півсфери виходять нерівними. PS Клей Момент повинен бути в НУ (початкові умови).

1. ↑ В геометрії горизонт, за яким ховається вершина трикутника, може перебувати на будь-якій відстані від спостерігача.
2. ↑ Коли цього квадрату спробували дати назву, з'явилося повідомлення «Фігура з ім'ям" ABCD "вже існує. Введіть інше ім'я ».
3. ↑ Відстань між сусідніми сторонами в міру віддалення в нескінченність не прагне до нуля. Починаючи приблизно з 100 км від центру багатокутника, його сторони повністю розпрямляються і перестають наближатися один до одного. Звідси випливає, що площа такого багатокутника не має меж.