1. Деякі характеристичні властивості площині
2. рівняння площини
3. Визначення по точці і вектору нормалі
4. Відстань від точки до площини
5. Відстань між паралельними площинами
6. N-площину в просторі
7. Приклади m-площин
8. Див. також

Цей термін має також інші значення див. площина .

Площина - одне з основних понять геометрії . При систематичному викладі геометрії поняття площини зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.

Деякі характеристичні властивості площині

• площина - поверхню , Що містить повністю кожну пряму , Що сполучає будь-які її точки ;
• Дві площини є або паралельними, або перетинаються по прямій.
• Пряма або паралельна площині, або перетинає її в одній точці, або знаходиться на площині.
• Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні один одному.
• Дві площини, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні один одному.

аналогічно відрізку і інтервалу , Площина, що не включає крайні точки, можна назвати інтервального площиною, або відкритою площиною.

рівняння площини

Вперше зустрічається у А. К. Клеро ( тисяча сімсот тридцять один ).

Рівняння площини у відрізках, мабуть, вперше зустрічається у Г.Ламе ( 1816 - 1818 ).

Нормальне рівняння ввів Л. О. Гессе ( тисячі вісімсот шістьдесят один ).

Площина - алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площину може бути задана рівнянням першого ступеня.

• Загальне рівняння (повне) площині

де і - постійні, причому і одночасно не рівні нулю; в векторної формі:

де - радіус-вектор точки , вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). напрямні косинуси вектора :

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, рівняння називається неповним. при площину проходить через початок координат , при (або , ) П. паралельна осі (відповідно або ). при ( , або ) Площина паралельна площині (відповідно або ).

• Рівняння площини у відрізках:

де , , - відрізки, що відсікаються площиною на осях і .

в векторній формі:

(Змішане твір векторів), інакше

• Нормальне (нормоване) рівняння площини

в векторній формі:

де - одиничний вектор, - відстань П. від початку координат. Рівняння (2) може бути отримано з рівняння (1) множенням на нормуючий множник

(знаки і протилежні).

Визначення по точці і вектору нормалі

У тривимірному просторі одним з найважливіших способів визначення площині є вказівка ​​точки на площині і вектора нормалі до неї.

Припустимо, є радіусом-вектором точки , Заданої на площині, і припустимо, що n - це ненульовий вектор, перпендикулярний до площини (нормаль). Ідея полягає в тому, що точка з радіусом-вектором r знаходиться на площині тоді і тільки тоді, коли вектор, проведений від до , Перпендикулярний n.

Повернемося до того, що два вектора є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Звідси випливає, що потрібна нам площину може бути виражена як безліч всіх точок r таких, що:

(Тут точка означає скалярний твір, а не множення.)

Розгорнувши вираз, ми отримаємо:

що є знайомим нам рівнянням площини.

Наприклад: Дано: точка на площині і вектор нормалі .

Рівняння площини записується так:

Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини - це найменше з відстаней між цією точкою і точками площини. Відомо що відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

, якщо і початок координат лежать по різні боки площини, в протилежному випадку . Відстань від точки до площини дорівнює

Відстань між паралельними площинами

пов'язані поняття

• Кут між двома площинами. Якщо рівняння П. задані у вигляді (1), то

Якщо у векторній формі, то

або (Векторний витвір)

• Площині перпендикулярні, якщо

або . (Скалярний добуток)

• Пучок площин - все площини, що проходять через лінію перетину двох площин. Рівняння пучка площин, тобто будь-якій площині, що проходить через лінію перетину двох площин, має вигляд [1] : 222:

де і - будь-які числа, не рівні одночасно нулю. Рівняння самої цієї лінії можна знайти з рівняння пучка, підставляючи α = 1, β = 0 і α = 0, β = 1.

• Зв'язка площин - все площини, що проходять через точку перетину трьох площин [1] : 224. Рівняння зв'язки площин, тобто будь-якій площині, що проходить через точку перетину трьох площин, має вигляд:

де , і - будь-які числа, не рівні одночасно нулю. Саму цю точку можна знайти з рівняння зв'язки, підставляючи α = 1, β = 0, γ = 0; α = 0, β = 1, γ = 0 і α = 0, β = 0, γ = 1 і вирішуючи отриману систему рівнянь.

N-площину в просторі

Нехай дано n-мірне афінний-точененое простір , Над полем дійсних чисел. У ньому обрана прямокутна система координат . m-площиною називається безліч точок , Радіус вектори яких задовольняють наступному співвідношенню - матриця, стовпці якої утворює напрямні підпростір площині, - вектор змінних, - радіус-вектор однієї з точок площини.
Зазначене співвідношення можна з матрично-векторного виду перевести в векторний:
- векторне рівняння m-площині.
вектора утворюють направляє підпростір. Дві m-площині називаються паралельними, якщо їх направляють простору збігаються і .

(N-1) -плоскость в n-вимірному просторі називається гиперплоскостью або просто площиною. Для гиперплоскости існує загальне рівняння площини. нехай - нормальний вектор площини, - вектор змінних, - радіус вектор точки, що належить площині, тоді:
- загальне рівняння площини.
Ім'я матрицю напрямних векторів, рівняння можна записати так: , Або:
.
Кутом між площинами називається найменший кут між їх нормальними векторами.

Приклади m-площин

1. Прикладом 1-площині в тривимірному просторі (n = 3) служить пряма . Її векторне рівняння має вигляд: . У разі n = 2 пряма є гиперплоскостью.
2. Гіперплощиною в тривимірному просторі відповідає звичному поняттю площині.

Див. також

Примітки

література

Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 240 с.

посилання