Хвилі в дискретної ланцюжку. Поляризація хвиль. Швидкість поперечної хвилі. Щільність кінетичної енергії біжить водни.

Хвилі.

З давніх-давен наочний образ хвилі завжди асоціювався з хвилями на поверхні води. Але хвилі на воді є значно більш складне явище, ніж багато інших хвильові процеси - такі, як поширення звуку в однорідноїізотропної середовищі. Тому природно починати вивчення хвильового руху не з хвиль на воді, а з більш простих випадків.

Хвилі в дискретної ланцюжку.

Найпростіше уявити собі хвилю, що поширюється по нескінченному ланцюжку зв'язаних маятників (рис. 192). З нескінченного ланцюжка ми починаємо для того, щоб можна було розглядати хвилю, що поширюється в одному напрямку, і не думати про можливе її відображенні від кінця ланцюжка.

Мал. 192. Хвиля в ланцюжку зв'язаних маятників Якщо маятник, що знаходиться на початку ланцюжка, привести в гармонійне коливальний рух з певною частотою зі і амплітудою А, то коливальний рух буде поширюватися по ланцюжку. Таке поширення коливань з одного місця в інше і називається хвильовим процесом або хвилею. За відсутності загасання будь-який інший маятник в ланцюжку буде повторювати вимушені коливання першого маятника з деяким відставанням по фазі. Це запізнення пов'язане з тим, що поширення коливань по ланцюжку відбувається з деякою кінцевою швидкістю. Швидкість поширення коливань і залежить від жорсткості з'єднує маятники пружинки, від того, наскільки сильна зв'язок між маятника. Якщо перший маятник в ланцюжку рухається за певним законом, його змішання з положення рівноваги є задана функція часу, то зміщення маятника, віддаленого від початку ланцюжка на відстань, в будь-який момент часу буде точно таким же, як змішання першого маятника в більш ранній момент часу буде описуватися функцією. Нехай при гармонійних коливаннях першого маятника його зміщення з положення рівноваги дається виразом. Кожен з маятників ланцюжка характеризується тим відстанню, на яке він відстоїть від початку ланцюжка. Тому його зміщення з положення рівноваги при проходженні хвилі природно позначити через. Тоді, відповідно до сказаного вище, маємо Описувана рівнянням хвиля називається монохроматичної. Характерною ознакою монохроматичної хвилі є те, що кожен з маятників здійснює синусоїдальне коливання певної частоти. Поширення хвилі по ланцюжку маятників супроводжується перенесенням енергії і імпульсу. Але ніякого перенесення маси при цьому не відбувається: кожен маятник, здійснюючи коливання біля положення рівноваги, в середньому залишається на місці.

Поляризація хвиль. Залежно від того, в якому напрямку відбуваються коливання маятників, говорять про хвилях різної поляризації. Якщо коливання маятників відбуваються вздовж напрямку поширення хвилі, як на рис. 192, то хвиля називається поздовжньою, якщо поперек - то поперечної. Зазвичай хвилі різної поляризації поширюються з різними швидкостями. Розглянута ланцюжок пов'язаних маятників є приклад механічної системи з зосередженими параметрами.

Інший приклад системи з зосередженими параметрами, в якій можуть поширюватися хвилі, це ланцюжок кульок, пов'язаних легкими пружинками (рис. 193). У такій системі інертні властивості зосереджені у кульок, а пружні у пружинок. При поширенні хвилі кінетична енергія коливань локалізована на кульках, а потенційна - на пружинках. Легко здогадатися, що такий ланцюжок з'єднаних пружинками кульок можна розглядати як модель одновимірної системи з розподіленими параметрами, наприклад пружною струни. У струні кожен елемент довжини має одночасно масою, інертними властивостями, і жорсткістю, пружними властивостями. Хвилі в натягнутій струні. Розглянемо поперечну монохроматичну хвилю, що поширюється в нескінченній натягнутою струни. Попереднє натяг струни необхідно тому, що ненатягнута гнучка струна, на відміну від твердого стрижня, володіє пружністю тільки по відношенню до деформації розтягування, але не стиснення. Монохроматична хвиля в струні описується тим же виразом, що і хвиля в ланцюжку маятників. Однак тепер роль окремого маятника грає кожен елемент струни, тому змінна в рівнянні, що характеризує рівноважний стан маятника, приймає безперервні значення. Зсув будь-якого елементу струни з рівноважного положення при проходженні хвилі є функція двох змінні часу і рівноважного положення цього елемента. Якщо у формулі зафіксувати розглядати певний елемент струни, то функція при фіксованому дає зміщення виділеного елемента струни в залежності від часу. Це змішання є гармонійне коливання з частотою зі і амплітудою. Початкова фаза коливань цього елемента струни залежить від його рівноважного положення. Всі елементи струни при проходженні монохроматичної хвилі здійснюють гармонійні коливання однакової частоти і амплітуди, але різняться по фазі.

Довжина хвилі.

Якщо у формулі зафіксувати, розглядати всю струну в один і той же момент часу, то функція при фіксованому дає миттєву картину зсувів всіх елементів струни як би моментальну фотографію хвилі. На цій «фотографії» ми побачимо застиглу синусоїду (рис. 194). Період цієї синусоїди, відстань між сусідніми горбами або западинами, називається довжиною хвилі. З формули можна знайти, що довжина хвилі пов'язана з частотою зі і швидкістю хвилі і співвідношенням період коливань. Картину поширення хвилі можна уявити собі, якщо цю «застиглу» синусоїду привести в рух уздовж осі зі швидкістю.

Мал. 194. Зсув різних точок струни в один і той же момент часу. Мал. 195. Картини зсувів точок струни в момент часу. Дві послідовні «моментальні фотографії» хвилі в моменти часу показані на рис. 195. Видно, що довжина хвилі дорівнює відстані, яку проходить будь-яким горбом за період коливань відповідно до формули.

Швидкість поперечної хвилі.

Визначимо швидкість поширення монохроматичної поперечної хвилі в струні. Будемо вважати, що амплітуда мала в порівнянні з довжиною хвилі. Нехай хвиля біжить вправо зі швидкістю і. Перейдемо в нову систему відліку, що рухається уздовж струни зі швидкістю, що дорівнює швидкості хвилі і. Ця система відліку також є інерціальній і, отже, в ній справедливі закони Ньютона. З цієї системи відліку хвиля здається застиглою синусоїдою, а речовина струни ковзає уздовж цієї синусоїди вліво: будь-який попередньо пофарбований елемент струни буде здаватися тікає вздовж синусоїди вліво зі швидкістю.

Мал. 196. До розрахунку швидкості распространиния хвилі в струні. Розглянемо в цій системі відліку елемент струни довжини, яка багато менше довжини хвилі, в той момент, коли він знаходиться на гребені синусоїди (рис. 196). Застосуємо до цього елементу другий закон Ньютона. Сили, що діють на елемент з боку сусідніх ділянок струни, показані в виділеному гуртку на рис. 196. Оскільки розглядається поперечна хвиля, в якій зміщення елементів струни перпендикулярні напрямку розповсюдження хвилі, то горизонтальна складова сили натягу. вання постійна уздовж всієї струни. Так як довжина розглянутого ділянки, то напрямки сил натягу, що діють на виділений елемент, майже горизонтальні, а їх модуль можна вважати рівним. Рівнодіюча цих сил спрямована вниз і дорівнює. Швидкість розглянутого елемента дорівнює і і ​​спрямована вліво, а малий ділянку його синусоїдальної траєкторії поблизу горба можна вважати дугою кола радіуса. Тому прискорення цього елемента струни направлено вниз і так само. Масу елемента струни можна представити у вигляді щільність матеріалу струни, a площа перетину, які через малість деформацій при поширенні хвилі можна вважати такими ж, як і під час відсутності хвилі. На підставі другого закону Ньютона. Це і є шукана швидкість поширення поперечної монохроматичної хвилі малої амплітуди в натягнутій струні. Видно, що вона залежить тільки від механічної напруги натягнутою струни і її щільності і не залежить від амплітуди і довжини хвилі. Це означає, що поперечні хвилі будь-якої довжини поширюються в натягнутій струні з однаковою швидкістю. Якщо в струні одночасно поширюються, наприклад, дві монохроматичні хвилі з однаковими амплітудами і близькими частотами зі, то «моментальні фотографії» цих монохроматичних хвиль і результуючої хвилі будуть мати вигляд, показаний на рис. 197.

Там, де горб однієї хвилі збігається з горбом інший, в результуючої хвилі змішання максимально. Оскільки відповідні окремим хвилях синусоїди біжать уздовж осі z з однаковою швидкістю і, то і результуюча крива біжить з тією ж самою швидкістю, не змінюючи своєї форми. Виявляється, що це справедливо для хвильового збурення будь-якої форми: поперечні хвилі довільного виду поширюються в натягнутій струні, не змінюючи своєї форми. Про дисперсії хвиль. Якщо швидкість поширення монохроматичних хвиль не залежить від довжини хвилі або частоти, то кажуть, що відсутня дисперсія. Збереження форми будь-якої хвилі при її поширенні є наслідок відсутності дисперсії. Дисперсія відсутня для хвиль будь-якого виду, що поширюються в суцільних пружних середовищах. Ця обставина дозволяє дуже легко знайти швидкість поздовжніх хвиль.

Швидкість поздовжніх хвиль.

Розглянемо, наприклад, довгий пружний стрижень площі, в якому поширюється поздовжнє обурення з крутим переднім фронтом. Нехай в деякий момент часу цей фронт, переміщаючись зі швидкістю, дійшов до точки з координатою праворуч від фронту всі крапки стрижня ще спочивають. Через проміжок часу фронт переміститься вправо на відстань (рис. 198). В межах цього шару все частки рухаються з однієї і тієї ж швидкістю. Через цей проміжок часу частинки стержня, що знаходилися в момент на фронті хвилі, перемістяться уздовж стрижня на відстань. Застосуємо до залученої за час в хвильової процес масі стрижня закон збереження імпульсу. Чинну на масу висловимо через деформацію елемента стержня за допомогою закону Гука. Довжина виділеного елемента стержня дорівнює, а зміна його довжини під дією сили одно. Тому за допомогою знаходимо Підставляючи це значення в, отримуємо Швидкість поздовжніх звукових хвиль в пружному стрижні залежить тільки від модуля Юнга і щільності. Легко переконатися, що в більшості металів ця швидкість складає приблизно. Швидкість поздовжніх хвиль в пружному середовищі завжди більше швидкості поперечних. Порівняємо, наприклад, швидкості поздовжніх і поперечних хвиль і (в натягнутій гнучкою струні. Оскільки при малих деформаціях пружні постійні не залежить від прикладених сил, то швидкість поздовжніх хвиль в натягнутій струні не залежить від її попереднього натягу і визначається формулою. Для того щоб порівняти цю швидкість зі знайденою раніше швидкістю поперечних хвиль иг висловимо силу натягу струни, що входить в формулу, через відносну деформацію струни обумовлену цим попереднім натягом. Підставляючи значення у формулу, підлозі чаєм Таким чином, швидкість поперечних хвиль в натягнутій струні ut виявляється значно менше швидкості поздовжніх хвиль, так як відносне розтягнення струни е багато менше одиниці. Енергія хвилі. При поширенні хвиль відбувається передача енергії без перенесення речовини. Енергія хвилі в пружної середовищі складається з кінетичної енергії здійснюють коливання частинок речовини і з потенційної енергії пружної деформації середовища. Розглянемо, наприклад, поздовжню хвилю в пружному стрижні. У фіксований момент часу кінетична енергія розподілена за обсягом стрижня нерівномірно, так як одні точки стержня в цей момент спочивають, інші, навпаки, рухаються з максимальною швидкістю. Те ж саме справедливо і для потенційної енергії, так як в цей момент якісь елементи стрижня не деформовані, інші ж деформовані максимально. Тому при розгляді енергії хвилі природно вводити щільність кінетичної і потенційної енергій. Щільність енергії хвилі в кожній точці середовища не залишається постійною, а періодично змінюється при проходженні хвилі: енергія поширюється разом з хвилею.

�� Чому при поширенні поперечної хвилі в натягнутій струні поздовжня складова сили натягу струни однакова вздовж всієї струни і не змінюється при проходженні хвилі?

�� Що таке монохроматические хвилі? Як довжина монохроматичної хвилі пов'язана з частотою і швидкістю поширення? В яких випадках хвилі називаються поздовжніми і в яких поперечними? Покажіть за допомогою якісних міркувань, що швидкість поширення хвилі тим більше, чим більше сила, яка прагне повернути обурений ділянку середовища в стан рівноваги, і тим менше, чим більше інертність цієї ділянки. Якими характеристиками середовища визначається швидкість поздовжніх хвиль і швидкість поперечних хвиль? Як пов'язані між собою швидкості таких хвиль в натягнутій струні?

Щільність кінетичної енергії біжучої хвилі.

Розглянемо щільність кінетичної енергії в монохроматичної пружною хвилі, описуваної рівнянням. Виділимо в стрижні малий елемент між площинами такий, що його довжина в недеформованому стані багато менше довжини хвилі. Тоді швидкості всіх частинок стержня в цьому елементі при поширенні хвилі можна вважати однаковими. За допомогою формули знаходимо швидкість, розглядаючи як функцію часу і вважаючи величину, що характеризує стан розглянутого елемента стержня, фіксованою. Маса виділеного елемента стержня, тому його кінетична енергія в момент часу є За допомогою виразу знаходимо щільність кінетичної енергії в точці в момент часу. Щільність потенційної енергії. Перейдемо до обчислення щільності потенційної енергії хвилі. Оскільки довжина виділеного елемента стержня мала в порівнянні з довжиною хвилі, то викликається хвилею деформацію цього елемента можна вважати однорідною. Тому потенційну енергію деформації можна записати у вигляді подовження елемента, що розглядається стрижня, викликане проходить хвилею. Для знаходження цього подовження потрібно розглянути положення площин, що обмежують виділений елемент, в певний момент часу. Миттєве положення будь-якій площині, рівноважний стан якої характеризується координатою, визначається функцією, що розглядається як функція при фіксованому. Тому подовження елемента, що розглядається стрижня, як видно з рис. 199, так само Відносне подовження цього елемента є Якщо в цьому виразі перейти до межі при, то воно перетворюється в похідну функції по змінній при фіксованому. За допомогою формули отримуємо

Мал. 199. До розрахунку відносного подовження стрижня Тепер вираз для потенційної енергії приймає вид а щільність потенційної енергії в точці в момент часу є Енергія біжучої хвилі. Оскільки швидкість поширення поздовжніх хвиль, то праві частини в формулах збігаються. Це означає, що в біжучому поздовжньої пружної хвилі щільності кінетичної і потенційної енергій рівні в будь-який момент часу в будь-якій точці середовища. Залежність щільності енергії хвилі від координати в фіксований момент часу показана на рис. 200. Звернемо увагу на те, що на відміну від локалізованих коливань (осцилятор), де кінетична і потенційна енергії змінюються в протифазі, в біжучому хвилі коливання кінетичної і потенційної енергій відбуваються в однаковій фазі. Кінетична і потенційна енергії в кожній точці середовища одночасно досягають максимальних значень і одночасно звертаються в нуль. Рівність миттєвих значень щільності кінетичної і потенційної енергій є загальне властивість біжучих хвиль хвиль, що поширюються в певному напрямку. Можна переконатися, що це справедливо і для поперечних хвиль в натягнутій гнучкою струні. Мал. 200. Зміщення частинок середовища і щільність енергії в біжучому хвилі

До сих пір ми розглядалі Хвилі, что пошірюються в системе, что має нескінченну протяжність только по одному напрямку: в ланцюжки маятніків, в струні, в стріжні. Альо Хвилі могут пошірюватіся и в середовіщі, что має нескінченні розміри в усіх Напрямки. У такій суцільному середовіщі Хвилі бувають різного виду в залежності від способу їх збудження. Плоска хвиля. Якщо, наприклад, хвиля виникає в результаті гармонійних коливань нескінченної площини, то в однорідному середовищі вона поширюється в напрямку, перпендикулярному цій площині. У такій хвилі зміщення всіх точок середовища, що лежать на будь-якій площині, перпендикулярній напряму розповсюдження, відбувається абсолютно однаково. Якщо в середовищі не відбувається поглинання енергії хвилі, то амплітуда коливань точок середовища всюди однакова і їх зміщення дається формулою. Така хвиля називається плоскою.

Сферична хвиля.

Хвилю іншого виду сферичну створює в однорідноїізотропної пружною середовищі пульсуючий куля. Така хвиля поширюється з однаковою швидкістю в усіх напрямках. Її хвильові поверхні, поверхні постійної фази, являють собою концентричні сфери. За відсутності поглинання енергії в середовищі легко визначити залежність амплітуди сферичної хвилі від відстані до центру. Оскільки потік енергії хвилі, пропорційний квадрату амплітуди, однаковий через будь-яку сферу, амплітуда хвилі зменшується обернено пропорційно відстані від центру. Рівняння поздовжньої сферичної хвилі має вигляд де амплітуда коливань на відстані від центру хвилі.

�� Як залежить переноситься хвилею, що біжить енергія від частоти і від амплітуди хвилі?

�� Що таке плоска хвиля? Сферична хвиля? Як залежать від відстані амплітуди плоскої і сферичної хвиль?

• Поясніть, чому в біжучому хвилі кінетична енергія і потенційна енергія змінюються в однаковій фазі.