Фазова швидкість

Фазова швидкість електромагнітної хвилі [ правити | правити код ]
Для хвильового рівняння [ правити | правити код ]
Для рівняння Клейна-Гордона [ правити | правити код ]
Чи може фазова швидкість перевершувати швидкість світла [ правити | правити код ]
Фазова швидкість у напрямку, який не збігається з хвильовим вектором [ правити | правити код ]
Фазова швидкість для квантової частинки [ правити | правити код ]
Фазова швидкість для рівняння Клейна-Гордона [ правити | правити код ]

Фазова швидкість - швидкість переміщення точки, яка має постійної фазою коливального руху в просторі, вздовж заданого напрямку. Зазвичай розглядають напрямок, що збігається з напрямком хвильового вектора , І фазової називають швидкість, виміряну саме в цьому напрямку, якщо противне не вказано явно (тобто якщо явно не вказано напрямок, відмінне від напрямку хвильового вектора). Фазова швидкість у напрямку хвильового вектора збігається зі швидкістю руху фазового фронту (поверхні постійної фази). Її можна розглядати при бажанні як векторну величину.

Найбільш уживане позначення: v φ {\ displaystyle v _ {\ phi} \} $Найбільш уживане позначення: v φ {\ displaystyle v _ {\ phi} \}$ .

Строго кажучи, поняття фази може бути застосовано тільки при описі гармонійних або монохроматичних (тобто синусоїдальних sin ⁡ (φ) {\ displaystyle \ sin (\ phi)} $Строго кажучи, поняття фази може бути застосовано тільки при описі гармонійних або монохроматичних (тобто синусоїдальних sin ⁡ (φ) {\ displaystyle \ sin (\ phi)} або є уявними експонентами e i φ {\ displaystyle e ^ {i \ phi}} ) Хвиль, а також - наближено - для хвиль близької форми (наприклад, майже монохроматичних хвильових пакетів) або легко зводяться до синусоїдальним (наприклад, сферичних хвиль виду cos ⁡ (φ) / r {\ displaystyle \ cos (\ phi) / r} ), Або, що менш коректно, при описі періодичних хвиль іншої форми$ або є уявними експонентами e i φ {\ displaystyle e ^ {i \ phi}} ) Хвиль, а також - наближено - для хвиль близької форми (наприклад, майже монохроматичних хвильових пакетів) або легко зводяться до синусоїдальним (наприклад, сферичних хвиль виду cos ⁡ (φ) / r {\ displaystyle \ cos (\ phi) / r} ), Або, що менш коректно, при описі періодичних хвиль іншої форми. Проте, хвилю (практично) будь-якої форми за допомогою перетворення Фур'є можна уявити як суму монохроматичних хвиль, і тоді до кожної з цих хвиль поняття фази і фазової швидкості може бути застосовано цілком строго (втім, тоді у кожної монохроматичної хвилі в розкладанні буде, взагалі кажучи, своя фазова швидкість, не збігається з іншими, тільки в окремих випадках вони можуть все точно збігатися або бути близькі).

Для опису хвиль, відмінних від гармонійних, (особливо для опису хвильових пакетів ), Використовують, крім поняття фазової швидкості, поняття швидкості груповий (Яка описує рух не окремої гребеня в хвильовому пакеті, а його обвідної, наприклад, максимуму обвідної).

Основна формула, яка визначає фазову швидкість (монохроматичної) хвилі в одновимірному просторі або фазову швидкість уздовж хвильового вектора для хвилі в просторі більшої розмірності:

v φ = ω / k {\ displaystyle v _ {\ phi} = \ omega / k} $v φ = ω / k {\ displaystyle v _ {\ phi} = \ omega / k}$

яка є прямим наслідком того факту, що фаза плоскої хвилі в однорідному середовищі є

φ = ω t - k x {\ displaystyle \ phi = \ omega t-kx} $φ = ω t - k x {\ displaystyle \ phi = \ omega t-kx} для одновимірного випадку$ для одновимірного випадку

або φ = ω t - k → ⋅ x → {\ displaystyle \ phi = \ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}} $або φ = ω t - k → ⋅ x → {\ displaystyle \ phi = \ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}} для розмірності, більшою одиниці$ для розмірності, більшою одиниці.

Конкретне співвідношення між ω {\ displaystyle \ omega} $Конкретне співвідношення між ω {\ displaystyle \ omega} і k {\ displaystyle k} - так званий закон дисперсії для кожного конкретного типу хвиль отримують зазвичай з диференціального рівняння, що описує даний тип хвиль, підставляючи в нього монохроматичну (найчастіше плоску) хвилю [1]$ і k {\ displaystyle k} - так званий закон дисперсії для кожного конкретного типу хвиль отримують зазвичай з диференціального рівняння, що описує даний тип хвиль, підставляючи в нього монохроматичну (найчастіше плоску) хвилю [1] .

У разі, коли фазова швидкість не залежить для даного типу хвиль від частоти або хвильового числа (і напрямки хвильового вектора), тоді і групова швидкість збігається з нею.

Фазова швидкість електромагнітної хвилі [ правити | правити код ]

У вакуумі для електромагнітної хвилі будь-якої частоти (по крайней мере, в тих діапазонах частот і інтенсивностей, які досліджені) фазова швидкість, виміряна в напрямку хвильового вектора, завжди дорівнює одній і тій же величині - швидкості світла у вакуумі , Універсальної константі.

У середовищах закон дисперсії електромагнітних хвиль досить складний (див. дисперсія світла ), І фазова швидкість може помітно змінюватися, аж до негативних [2] значень.

Для хвильового рівняння [ правити | правити код ]

Будь-яка хвиля, описувана хвильовим рівнянням

∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}} = C ^ {2} {\ frac { \ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}}} $∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}} = C ^ {2} {\ frac { \ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}}}$

має фазову швидкість С (причому C тут - якийсь постійний коефіцієнт; швидкості світла цей коефіцієнт дорівнює в хвильовому рівнянні для електромагнітних хвиль).

Такий результат виходить прямою підстановкою в це рівняння монохроматичної хвилі виду cos ⁡ (k x - ω t) {\ displaystyle \ cos (kx- \ omega t)} $Такий результат виходить прямою підстановкою в це рівняння монохроматичної хвилі виду cos ⁡ (k x - ω t) {\ displaystyle \ cos (kx- \ omega t)} і потім обчисленням ω / k {\ displaystyle \ omega / k}$ і потім обчисленням ω / k {\ displaystyle \ omega / k} .

Цей результат вірний не тільки для хвильового рівняння на одновимірному просторі (ми його використовували вище лише для стислості; все залишається абсолютно аналогічним при будь-якій кількості похідних за координатами в правій частині).

Для рівняння Клейна-Гордона [ правити | правити код ]

для рівняння Клейна-Гордона

∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + C 4 m 2 f, {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}} = C ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + C ^ {4} m ^ {2} f,} $∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + C 4 m 2 f, {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}} = C ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + C ^ {4} m ^ {2} f,}$

відрізняється тільки останнім членом, дає при аналогічній підстановці

ω 2 = C 2 k 2 + C 4 m 2, {\ displaystyle \ omega ^ {2} = C ^ {2} k ^ {2} + C ^ {4} m ^ {2},} $ω 2 = C 2 k 2 + C 4 m 2, {\ displaystyle \ omega ^ {2} = C ^ {2} k ^ {2} + C ^ {4} m ^ {2},}$

звідки:

ω = C 2 k 2 + C 4 m 2 {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {C ^ {2} k ^ {2} + C ^ {4} m ^ {2}}}} $ω = C 2 k 2 + C 4 m 2 {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {C ^ {2} k ^ {2} + C ^ {4} m ^ {2}}}}$

v φ = ω / k = C 1 + C 2 m 2 / k 2 {\ displaystyle v _ {\ varphi} = \ omega / k = C {\ sqrt {1 + C ^ {2} m ^ {2} / k ^ {2}}}} $v φ = ω / k = C 1 + C 2 m 2 / k 2 {\ displaystyle v _ {\ varphi} = \ omega / k = C {\ sqrt {1 + C ^ {2} m ^ {2} / k ^ {2}}}}$ .

Цей вислів при ненульових дійсних m завжди більше, ніж C і може бути як завгодно великим при k → 0.

У певному сенсі фазова швидкість не є вектором. Говорячи так, мають на увазі той факт, що фазові швидкості за різними напрямками (наприклад за напрямками координатних осей), що визначаються як це описано вище, не є ні координатами, ні проекціями [3] ніякого вектора [4] , В тому числі очевидно не є проекціями або координатами вектора, що збігається за напрямком з хвильовим вектором, і з абсолютною величиною, рівною фазовоїшвидкості в цьому напрямку.

Але це, звичайно, не заважає при бажанні ввести чисто формально вектор фазової швидкості, за визначенням збігається за напрямком з хвильовим вектором, і з абсолютною величиною, рівною фазовоїшвидкості в цьому напрямку. Питання про те, чи коректно називати такий вектор вектором фазової швидкості, є чисто термінологічним (конвенціональних), фактом є лише те, що його проекції на осі координат або компоненти по цих осях не відповідатимуть фазовоїшвидкості уздовж цих напрямків відповідно до визначення фазової швидкості у напрямку, даними на початку статті (і взагалі з якимось розумним визначенням, крім чисто формального, описаного в даному абзаці).

Саме ж, для випадку плоскої гармонічної хвилі фазову швидкість уздовж хвилевого вектора можна виразити таким чином:

v φ ≡ v φ, 0 = ω / k {\ displaystyle v _ {\ phi} \ equiv v _ {\ phi, 0} = \ omega / k} $v φ ≡ v φ, 0 = ω / k {\ displaystyle v _ {\ phi} \ equiv v _ {\ phi, 0} = \ omega / k} ,$ ,

де k {\ displaystyle k} $де k {\ displaystyle k} - хвильове число , Ω {\ displaystyle \ omega} - кутова частота$ - хвильове число , Ω {\ displaystyle \ omega} - кутова частота . При цьому, фазова швидкість вздовж напрямку, відхиленого від хвильового вектора на кут α {\ displaystyle \ alpha} , Буде дорівнює:

v φ, α = v k cos ⁡ α {\ displaystyle v _ {\ phi, \ alpha} = {\ frac {v_ {k}} {\ cos \ alpha}}} $v φ, α = v k cos ⁡ α {\ displaystyle v _ {\ phi, \ alpha} = {\ frac {v_ {k}} {\ cos \ alpha}}}$

Нерозуміння цього факту часто служить причиною непорозумінь і помилок. Наприклад, з наведеного вище ясно, що фазова швидкість може бути більше швидкості світла (це випливає прямо з тільки що наведеної формули, враховуючи що cos ⁡ α {\ displaystyle \ cos \ alpha} Нерозуміння цього факту часто служить причиною непорозумінь і помилок може приймати як завгодно малі значення при прагненні кута до прямого, і, відповідно, фазова швидкість у напрямку, близькому до ортогональному, виявляється як завгодно велика, прагнучи до нескінченності) [5] .

Чи може фазова швидкість перевершувати швидкість світла [ правити | правити код ]

Фазова швидкість може перевищувати швидкість світла у вакуумі, і нерідко її перевершує. Це ніяк не суперечить відомим принципом максимальності швидкості світла, необхідність якого виникає, щоб одночасно дотримувалися принцип причинності (щоб не виникало причинних парадоксів) і принцип відносності ( Лоренц-інваріантність ).

Справа в тому, що ці принципи накладають обмеження лише на швидкість поширення таких фізичних об'єктів, за допомогою яких можна передати інформацію. А фазова швидкість [6] не відноситься до швидкостей таких об'єктів. Чисто монохроматична (синусоїдальна) хвиля нескінченна в просторі і в часі, не може ніяк змінитися, щоб передати інформацію (якщо ми промодуліруем хвилю, вона перестане бути монохроматичної, а швидкість поширення модуляції - не збігається з фазовою швидкістю, зазвичай збігаючись зі швидкістю груповий для майже монохроматичних хвиль).

Фазова швидкість у напрямку, який не збігається з хвильовим вектором [ правити | правити код ]

Оскільки фазова швидкість, виміряна вздовж довільного напрямку, яка збігається з хвильовим вектором і напрямком поширення хвилі, не є швидкістю руху «фізичного об'єкта», тобто, об'єкта, стан якого в наступні моменти часу причинно обумовлено станом в попередні, а по суті характеризує просто стан осціллірующімі поля в штучно вибраних точках, часто (а саме якщо вибрати досить великий кут з хвильовим вектором), фазова швидкість по даному напрямку будь-якої, навіть як завгодно повільної (як показано в параграфі вище), хвилі може перевищувати швидкість світла , Прагнучи до нескінченності при прагненні кута до прямого.

Зокрема, фазова швидкість світла (або взагалі будь-що біжить електромагнітної хвилі) в вакуумі, виміряна по будь-якому напрямку, який не збігається з її хвильовим вектором, завжди більше швидкості світла.

Але справа не обмежується фазової швидкістю по довільному напрямку. Швидкість світла може бути перевершена навіть і фазовою швидкістю, яка вимірюється вздовж хвильового вектора.

Фазова швидкість для квантової частинки [ правити | правити код ]

Фазова швидкість квантової хвилі, відповідної будь масивної частинки (тобто частки, що має масу більше нуля), завжди більше швидкості світла. Це легко бачити з формул v φ = ω / k {\ displaystyle \ v _ {\ phi} = \ omega / k} Фазова швидкість квантової хвилі, відповідної будь масивної частинки (тобто частки, що має масу більше нуля), завжди більше швидкості світла , E = ℏ ω {\ displaystyle E = \ hbar \ omega} і p = ℏ k {\ displaystyle p = \ hbar k} , З чого v φ = E / p {\ displaystyle \ v _ {\ phi} = E / p} , В той час як E для масивних частинок завжди більше p за рахунок маси ( енергії спокою ).

Однак ця фазова швидкість в принципі не може спостерігатися (так як в квантовій фізиці фаза ненаблюдаемости взагалі). Доступна же спостереженню лише групова швидкість , Яка і є квантовим аналогом звичайної швидкості класичної частинки.

Фазова швидкість для рівняння Клейна-Гордона [ правити | правити код ]

Але диференціальні рівняння, що описують квантові частинки, можуть бути реалізовані в принципі і на інших фізичних системах (наприклад, на досить простих механічних моделях). В цьому випадку фазова швидкість - цілком доступна спостереженню.

Проте і тут фазова швидкість може бути зроблена як завгодно великий (досить підібрати досить мале k), і в принципі - її неважко зробити більшою, ніж швидкість світла.

Цей на вигляд парадоксальний результат пов'язаний з тим, що «поширення» такої хвилі є ілюзією [7] в тому сенсі, що між різними частинами хвилі немає причинного зв'язку (стан хвилі, просунулися вправо не визначається тим, якою вона була зліва).

↑ cos ⁡ (k x - ω t) {\ displaystyle \ cos (kx- \ omega t)} або exp ⁡ (i (k x - ω t)) {\ displaystyle \ exp (i (kx- \ omega t))} або аналогічний багатовимірний варіант.
↑ Матеріали з негативним показником заломлення - Віктор Веселаго
↑ У разі використання, наприклад, косокутних координат поняття координати вектора і проекції на вісь не збігаються.
↑ Звичайно, в певній фіксованій системі координат будь-яка трійка (будемо говорити для визначеності про тривимірному випадку) чисел визначає вектор; проте якщо ми маємо справу зі справжнім вектором, то при зміні системи координат, наприклад, при повороті осей, ми повинні отримати узгоджені за певними правилами результати для будь-якої системи координат, а вже таке виявляється для розглянутої нами трійки чисел невірним.
↑ Це не суперечить теорії відносності. Див. Наступний параграф.
↑ Як, наприклад, і швидкість зайчика на екрані - див. Статтю сверхсветовое рух .
↑ Поширення як факт, звичайно, має місце; під ілюзією треба розуміти те, що ми схильні інтуїтивно вкладати в цей факт більше, ніж в ньому реально є, а саме ми інтуїтивно схильні вважати, що, для хвилі, двіжщейся зліва направо, попередні стану хвилі зліва є причиною подальших станів справа, що ні так. Насправді більш вірним було б сказати, що різні частини цієї хвилі коливаються незалежно одна від одної, і накладення таких коливань і дає біжить хвилю (дійсно, чимось схоже на оптичний обман).